Kavram ve gerekçelendirme
Bir örneklemde ölçümlerin yayılımı standart sapmadır (SD). Farklı örneklemlerden hesaplanan aynı istatistiğin, örneğin örneklem ortalamasının yayılımı ise örnekleme dağılımıdır. Bu dağılımın standart sapması standart hata (SE) olarak adlandırılır.
Bağımsız ve aynı dağılımlı, varyansı sonlu X_i gözlemlerinde ortalamanın varyansı Var(X̄)=σ²/n ve standart hatası SE(X̄)=σ/√n'dir. σ bilinmiyorsa s/√n tahmin edilir. SD ve SE'nin her ikisi de önemli ama farklı soruları yanıtlar.
Merkezi limit teoremi, uygun bağımsızlık ve sonlu varyans koşullarında büyük n için standartlaştırılmış ortalamanın dağılımının yaklaşık normal olduğunu söyler. Bu, ham gözlemlerin normal olmak zorunda olduğu veya küçük her örneklemde yaklaşık normal dağılım garantisi bulunduğu anlamına gelmez.
Büyük sayılar yasası ortalamanın evren ortalamasına yaklaşmasını, merkezi limit teoremi ise örnekleme hatasının ölçeklenmiş dağılımını anlatır. Daha çok veri rastlantısal hatayı azaltabilir, fakat sistematik örnekleme yanlılığını otomatik düzeltmez.
Formül
Var(X̄)=σ²/n SE(X̄)=σ/√n (X̄−μ)/(σ/√n) ≈ N(0,1)
Adım adım çözümlü örnek
- Bireysel ölçümlerin popülasyon SD'si σ=12 ve örneklem sayısı n=25 olsun. Ortalamanın SE'si 12/√25=2,4.
- n=100 olduğunda aynı SD altında SE=12/√100=1,2 olur. Örneklem büyüklüğünü dört katına çıkarmak SE'yi yaklaşık yarıya düşürür.
- Her iki durumda bireysel gözlemlerin SD'si hâlâ 12 olabilir; değişen şey örneklem ortalamasının belirsizliğidir.
Bağımsız alıştırmalar
- σ=15 ve n=100 iken SE(X̄) kaçtır?
- σ sabitken n=36'dan n=144'e çıkarsa standart hata hangi oranla değişir?
- Merkezi limit teoremi neden ham veri dağılımının mutlaka normal olmasını gerektirmez?
Yazılı çözümler özel öğretmen notlarındadır.
Base R doğrulaması
set.seed(2026)
pop_sd <- 12
se25 <- pop_sd/sqrt(25)
se100 <- pop_sd/sqrt(100)
c(se25=se25, se100=se100)
# Compare mean of skewed exponential samples with normal approximation
means <- replicate(5000, mean(rexp(50, rate=1)))
hist(means, main='Sampling distribution of a mean')
c(mean=mean(means), standard_error=sd(means))