Matematiksel gerekçe ve varsayımlar
Bir testte H0 ve alternatif H1 önceden tanımlanır. İstatistik, gözlenen veriyle H0'ın ne kadar uyuştuğunu ölçer. p-değeri, H0 ve model varsayımları altında gözlenen kadar veya daha uç bir sonuç olasılığıdır; P(H0|veri) değildir.
Tip I hata, doğru H0'ı reddetmektir; uygun kalibre edilmiş testte koşullu olasılığı α ile denetlenir. Tip II hata, belirli bir yanlış H0'ı reddedememektir; olasılığı β'dır. Güç 1−β, belirtilen gerçek alternatif altında reddetme ihtimalidir.
Bilinir σ ve bağımsız normal gözlemler için iki taraflı ortalama z testi: z=(X̄−μ0)/(σ/√n). Örneklem boyutu, gerçek etki, gürültü ve α güç üzerinde etkilidir. Test anlamlı çıkmadıysa H0 kanıtlanmış değildir; geniş aralık ve düşük güç anlamlı etkiyi dışlamayabilir.
Çoklu testlerde keşifsel sonuçlarla önceden belirlenmiş doğrulayıcı hipotezleri ayır. α=0,05 eşiği, etki büyüklüğü, güven aralığı ve yöntemsel geçerlik yerine geçmez.
Formül
z=(X̄−μ0)/(σ/√n) p(two-sided)=2[1−Φ(|z|)] power=1−β
Adım adım çözümlü örnek
- Kurmaca ve idealize örnek: H0: μ=70, bilinen σ=10, n=25 ve gözlenen örneklem ortalaması X̄=74.
- SE=10/√25=2, z=(74−70)/2=2. İki taraflı p=2[1−Φ(2)]≈0,0455.
- Önceden belirlenen α=0,05 düzeyinde test H0'ı reddeder. Bu karar H0'ın doğru olma olasılığını, gerçek etkinin büyüklüğünü veya sonuçların tekrarını garanti etmez.
Bağımsız alıştırmalar
- Aynı H0, σ ve n için X̄=72 olsaydı z ve iki taraflı yaklaşık p değeri ne olurdu?
- Tip I hata, Tip II hata ve güç kavramlarını ayrı cümlelerle tanımla.
- σ ve gerçek etki sabitken n dört katına çıkarsa SE ve testin gücü tipik olarak nasıl değişir?
Öğretmen çözümleri özeldir.
Seçimlik base R uygulaması
mu0 <- 70; sigma <- 10; n <- 25; xbar <- 74
z <- (xbar - mu0)/(sigma/sqrt(n))
p_two_sided <- 2*pnorm(abs(z), lower.tail=FALSE)
c(z=z, p_value=p_two_sided)
# Illustrative power if true mean were 74 at alpha = 0.05
se <- sigma/sqrt(n)
cut <- qnorm(0.975)*se
power <- pnorm(mu0-cut, mean=74, sd=se) +
pnorm(mu0+cut, mean=74, sd=se, lower.tail=FALSE)
power